单自由度系统的运动方程
单自由度刚体的无约束自由运动方程及求解
假设弹簧的刚度为:\( k \),弹簧在静止状态下因为质量快而产生的变形量为:\( \Delta \).
在平衡状态下,该系统有如下方程:
$$ k \Delta = w = mg $$当弹簧偏离平衡位置\( x \),产生相应的运动时,根据牛顿第二定律.建立系统的动力学方程如下所示:
$$ m\ddot x = \Sigma{F} = w -k(\Delta + x) \tag{公式1}$$因为 \( k \Delta = w \),上面的公式简化为:
$$ m\ddot x = -kx $$假设有如下方程:
$$ \omega_n^2 = \frac {k}{m} $$公式1 可以写成如下形式:
$$ \ddot x + \omega_n^2{x} = 0 \tag{公式2} $$公式2 的解有如下形式:
$$ x = A \sin \omega_n{t} + B \cos \omega_n{t} \tag{3}$$这里,A和B 是两个必须的常数。这两个常数根据初始条件\( x(0) \) 和 \(\dot x{(0)} \)确定.公式(3)可写成如下形式:
$$ x = \frac {\dot x(0)}{\omega_n}\sin \omega_n{t} + x(0) \cos \omega_n(t)$$对于一个振荡系统来说,\( \omega_n{\tau} = 2\pi\),或者说:
$$ \tau = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$系统的natural频率为:
$$ f_n = \frac{1}{\tau} = \frac 1{2\pi}\sqrt\frac km$$代入上面的公式,求的系统的固有频率为:
$$ f_n = \frac 1{2\pi}\sqrt \frac g\Delta $$